Albert Einstein 35

Frühstücksrunde am Sonntagvormittag

Am Sonntag, den 29. April 2018 um 10:00 Uhr im Naturfreundehaus Mörfelden-Walldorf Seminarraum 1. Etage

Geometrie und Erfahrung

Die Mathematik genießt vor allen anderen Wissenschaften aus einem Grunde ein besonderes Ansehen: ihre Sätze sind absolut sicher und unbestreitbar, während die aller anderen Wissenschaften bis zu einem gewissen Grad umstritten und stets in Gefahr sind, durch neuentdeckte Tatsachen umgestoßen zu werden. Trotzdem brauchte der auf einem anderen Gebiet Forschende den Mathematiker noch nicht zu beneiden, wenn sich seine Sätze nicht auf Gegenstände der Wirklichkeit, sondern nur auf solche unserer bloßen Einbildung bezögen. Denn es kann nicht wundernehmen, dass man zu übereinstimmenden logischen Folgerungen kommt, wenn man sich über die fundamentalen Sätze (Axiome) sowie über die Methoden geeinigt hat, mittels welcher aus diesen fundamentalen Sätzen andere Sätze abgeleitet werden sollen. Aber jenes große Ansehen der Mathematik ruht andererseits darauf, dass die Mathematik es auch ist, die den exakten Naturwissenschaften ein gewisses Maß von Sicherheit gibt, dass sie ohne Mathematik nicht erreichen könnten.

An dieser Stelle nun taucht ein Rätsel auf, das Forscher aller Zeiten so sehr beunruhigt hat. Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt. Kann dann die menschliche Vernunft ohne Erfahrung durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge ergründen?

Hierauf ist nach meiner Ansicht kurz zu antworten: Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. Die volle Klarheit über diese Sachlage scheint mir erst durch diejenige Richtung in der Mathematik Besitz der Allgemeinheit geworden zu sein, die unter dem Namen Axiomatik bekannt ist. Der von der Axiomatik erzielte Fortschritt besteht nämlich darin, dass durch sie das Logisch-Formale vom sachlichen bzw. anschaulichen Gehalt sauber getrennt wurde; nur das Logisch-Formale bildet gemäß der Axiomatik den Gegenstand der Mathematik, nicht aber der mit dem Logisch-Formalen verknüpfte anschauliche oder sonstige Inhalt.

Betrachten wir einmal von diesem Gesichtspunkt aus irgendein Axiom der Geometrie, etwa das folgende: Durch zwei Punkte des Raumes geht stets eine und nur eine Gerade. Wie ist dies Axiom im älteren und im neueren Sinn zu interpretieren?

Ältere Interpretation: Jeder weiß, was eine Gerade ist und was ein Punkt ist. Ob dies Wissen aus einem Vermögen des menschlichen Geistes oder aus der Erfahrung, aus einem Zusammenwirken beider oder sonst woher stammt, braucht der Mathematiker nicht zu entscheiden; er überlässt diese Entscheidung dem Philosophen. Gestützt auf diese vor aller Mathematik gegebene Kenntnis, ist das genannte Axiom sowie alle anderen Axiome evident, d. h. es ist der Ausdruck für einen Teil dieser Erkenntnis a priori.

Neue Interpretation: Die Geometrie handelt von Gegenständen, die mit den Worten Gerade, Punkt usw. bezeichnet werden. Irgendeine Erkenntnis oder Anschauung wird von diesen Gegenständen nicht vorausgesetzt, sondern nur die Gleichgültigkeit jener ebenfalls rein formal, d. h. losgelöst von jedem Anschwungs- und Erlebnisinhalt auffassenden Axiome, von denen das genannte ein Beispiel ist. Diese Axiome sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes. Alle anderen geometrischen Sätze sind logische Folgerungen aus den (nominalistisch aufzufassenden) Axiomen. Die Axiome definieren erst die Gegenstände, von denen die Geometrie handelt. Schlick hat die Axiome deshalb in seinem Buch über Erkenntnistheorie sehr treffend als „implizite Definitionen“ bezeichnet.

Diese von der modernen Axiomatik vertretenen Auffassung der Axiome säubert die Mathematik von allen nicht zu ihr gehörigen Elementen und beseitigt so das mystische Dunkel, das der Grundlage der Mathematik vorher anhaftete. Eine solche gereinigte Darstellung macht es aber auch evident, dass die Mathematik als solche weder über Gegenstände der anschaulichen Vorstellung noch über Gegenstände der Wirklichkeit etwas auszusagen vermag. Unter „Punkt“, „Gerade“ usw. sind in der axiomischen Geometrie nur inhaltsleere Begriffsschemata zu verstehen. Was ihnen Inhalt gibt, gehört nicht zur Mathematik. …

Bevor wir uns dem Raumproblem zuwenden, zuerst eine Behauptung über Begriffe überhaupt: Begriffe beziehen sich auf Sinnens Erlebnisse, aber sie sind niemals im logischen Sinn aus diesen ableitbar. Aus diesem Grunde habe ich die Frage nach dem a priori im Sinne Kants niemals begreifen können. Es kann sich bei Wesensfragen immer nur darum handeln, jene Charaktere der Komplexe der Sinneserlebnisse herauszusuchen, auf welche sich die Begriffe beziehen.

Albert Einstein; Mein Weltbild. Ullstein Verlag 32. Auflage 2014 S. 132, 133, 134, 156.

Le Monde Sonderbeilage Juli Sept. 2015 (Hors-Série)

 

Einblicke in die Thematik vermitteln und die Diskussionsreihe leiten wird Ernst Knöß[1]. Die weiteren Termine werden rechtzeitig bekannt gegeben. Eingeladen sind alle Menschen guten Willens, die einen anregenden Sonntagmorgen genießen wollen.

Auskünfte zum Thema und zur Veranstaltung erteilt: Ernst Knöß, Schubertstraße 9, 64546 Mörfelden-Walldorf. Tel.: 06105-26578, E-mail: ernst.knoess@googlemail.com; Besuchen Sie auch unsere Webseite: www.naturfreunde-moerfelden-walldorf.de  


[1] Ernst Knöß (Diplomvolkswirt) geb. 1950 studierte Gesellschaftswissenschaften in Berlin (Schwerpunkt Philosophie). Volkswirtschaftslehre in Frankfurt am Main. Außerdem Studien in Kernchemie (TU-Darmstadt) und der Rechtswissenschaften in Frankfurt am Main.

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